2021年の年賀状

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2021年の年賀状です．

解説

方法1

sqrt atan cos 1/x x^2 とすれば，1増える(すなわち $x$ から $x+1$ が生成される)ことに注意します．

  • これは三辺が $\sqrt{x+1}$, $\sqrt{x}$, $1$ の直角三角形を考えればわかります．

したがって sqrt atan cos 1/x x^2 を2021回繰り返せば，2021になります．

この方法だと，2021を生成するのに10105ステップが必要です．

方法2

sqrt atan cos 1/x x^2 を2回繰り返した列は sqrt atan cos 1/x x^2 sqrt atan cos 1/x x^2 です．

  • 真ん中の x^2 sqrt は明らかに省くことができますから， sqrt atan cos 1/x atan cos 1/x x^2 となります．

  • また，よく考えると 1/x atan cos は atan sin と同じです．

このことから sqrt atan cos atan sin 1/x x^2 という列で $x$ から $x+2$ を生成できることがわかります．

これを一般化すると

sqrt atan cos (atan sin)n-1 1/x x^2

という列で $x$ から $x+n$ を生成できます．

この方法だと，4045ステップになります．

方法3

10^x x^2 log という列で $x$ から $2x$ を生成できます． 10^x x^2 x^2 log なら $4x$ が生成できます． これを使ったらどうなるでしょうか．

2021の2進数表現は $11111100101_2$ です．

  1. $1_2$ を生成 (1ステップ)

    • cos

  2. $11_2$ を生成 (8ステップ)

    • 10^x x^2 log で2倍して

    • sqrt atan cos 1/x x^2 で1を加える

  3. $111_2$ を生成 (8ステップ)

  4. $1111_2$ を生成 (8ステップ)

  5. $11111_2$ を生成 (8ステップ)

  6. $111111_2$ を生成 (8ステップ)

  7. $11111100_2$ を生成 (4ステップ)

    • 10^x x^2 x^2 log

  8. $111111001_2$ を生成 (8ステップ)

  9. $1111110010_2$ を生成 (3ステップ)

    • 10^x x^2 log

  10. $11111100101_2$ を生成 (8ステップ)

結果は

cos 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 x^2 log 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2

となって，全部で64ステップです．

方法4

方法3で $111111_2$ を生成までのステップが長すぎるように思います． $1000000_2$ から1を引いたらどうでしょうか．

$x$ から $x+1$ を生成する列 sqrt atan cos 1/x x^2 を逆順にして，それぞれを逆関数にした列 sqrt 1/x acos tan x^2 は $x$ から $x-1$ を生成します．

そうすると，以下の手順が得られます．

  1. $1_2$ を生成 (1ステップ)

    • cos

  2. $1000000_2$ を生成 (8ステップ)

    • 10^x x^2 x^2 x^2 x^2 x^2 x^2 log

  3. $111111_2$ を生成 (5ステップ)

    • sqrt 1/x acos tan x^2

  4. $11111100_2$ を生成 (4ステップ)

    • 10^x x^2 x^2 log

  5. $111111001_2$ を生成 (8ステップ)

  6. $1111110010_2$ を生成 (3ステップ)

    • 10^x x^2 log

  7. $11111100101_2$ を生成 (8ステップ)

結果は

cos 10^x x^2 x^2 x^2 x^2 x^2 x^2 log sqrt 1/x acos tan x^2 10^x x^2 x^2 log 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2 10^x x^2 log 10^x x^2 log sqrt atan cos 1/x x^2

となって，全部で37ステップです．

方法5

もっとうまい方法を考えましょう．

cos atan で45が生成されます． 45の平方は2025です． これから4を引けば2021になります．

  1. 45を生成 (2ステップ)

    • cos atan

  2. 2025を生成 (1ステップ)

    • x^2

  3. 2021を生成 (11ステップ)

    • sqrt 1/x asin tan asin tan asin tan acos tan x^2 で4を引く

途中 x^2 sqrt の列があるので，これを削除すると結果は

cos atan 1/x asin tan asin tan asin tan acos tan x^2

とできて，12ステップになりました．

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